حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.8

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.2.9

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ و $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $2$ و $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

خطوة 2.4.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 3 x - 6$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.8

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.2.9

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

خطوة 4.1.3.2

أضف $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اقسِم كل حد في $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ على $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 5.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 5.3.1.2.1.2

اقسِم ${(x - 2)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

خطوة 5.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 5.3.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 2$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$3 (2) - 6$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $3$ في $2$ .

$6 - 6$

خطوة 9.2

اطرح $6$ من $6$ .

$0$

خطوة 10

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 10.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق الأول $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

خطوة 10.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

اطرح $2$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

خطوة 10.2.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (0) = \frac{12}{2}$

خطوة 10.2.2.2.2

اقسِم $12$ على $2$ .

$f' (0) = 6$

خطوة 10.2.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 10.3

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

خطوة 10.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

اطرح $2$ من $4$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

خطوة 10.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

خطوة 10.3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (4) = \frac{12}{2}$

خطوة 10.3.2.2.2

اقسِم $12$ على $2$ .

$f' (4) = 6$

خطوة 10.3.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 10.4

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 2$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 10.5

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية لـ $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ .

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية

خطوة 11