حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ بالصيغة $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $\sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 4.3.1.1.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 4.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 4.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 4.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.3.2

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.3.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.3.4

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

خطوة 4.3.1.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 4.3.1.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4.3.2

أعِد ترتيب عوامل $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4.3.3

اطرح $\cos (x) \sin (x)$ من $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4.4

انقُل $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - 2 \int - u d u$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - 2 (- \int u d u)$

خطوة 10

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$x + C + 2 \int u d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

خطوة 12.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

خطوة 12.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x + 1 u^{2} + C$

خطوة 12.2.3

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$x + u^{2} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$x + \cos^{2} (x) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \cos^{2} (x) + C$