حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = \ln (y)$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ ، لذا $y d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = \ln (y)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

خطوة 1.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 2.3

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة $\ln (| u_{2} |)$ في $2$ وفي $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 5

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

خطوة 6.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

خطوة 6.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\ln (2)$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (2)$

الصيغة العشرية:

$0.69314718 \dots$