حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (2 x) - \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (2 x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 1.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.7

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$