حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

خطوة 2

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 3

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 3.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

خطوة 3.4

احذِف الأقواس.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

خطوة 3.5

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

خطوة 3.5.4

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

خطوة 3.5.5

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

خطوة 3.6

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

خطوة 4

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

خطوة 4.2

اطرح $6$ من $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

خطوة 4.3

حلّل $r^{2} + 3 r - 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 4$ ومجموعهما $3$ .

$- 1, 4$

خطوة 4.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

خطوة 4.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

خطوة 4.5

عيّن قيمة العبارة $r - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عيّن قيمة $r - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r - 1 = 0$

خطوة 4.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$r = 1$

خطوة 4.6

عيّن قيمة العبارة $r + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

عيّن قيمة $r + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r + 4 = 0$

خطوة 4.6.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$r = - 4$

خطوة 4.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(r - 1) (r + 4) = 0$ صحيحة.

$r = 1, - 4$

خطوة 5

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

خطوة 6

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

خطوة 7

اضرب $x$ في $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$