حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 1

اكتب $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

خطوة 4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = \sec (3 x)$ . إذن $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = \sec (3 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 5.1.2.2

مشتق $\sec (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 5.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

خطوة 5.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

خطوة 5.1.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

خطوة 7.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

خطوة 8

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$