حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) \cdot e^{x}$

خطوة 1

اكتب $\sin (x) \cdot e^{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (x)$ و $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

خطوة 5

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (x)$ و $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

خطوة 8

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

خطوة 8.2

اضرب $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ في $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

خطوة 9

بإيجاد قيمة $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ ، وجدنا أن $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

خطوة 10

أعِد كتابة $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ بالصيغة $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$