حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{4 x^{5} + x^{2} + 4}{5 x^{2} - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 4 x^{5} + x^{2} + 4$ و $g (x) = 5 x^{2} - 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + x^{2} + 4] - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{5} + x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + 0) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $20 x^{4} + 2 x$ و $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.11

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.12

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + 0)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أضف $10 x$ و $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.13.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5} + x^{2} + 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) + (- 10 (4 x^{5}) - 10 x^{2} - 10 \cdot 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

وسّع $(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4} + 2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{5 \cdot 20 x^{2} x^{4} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.2.1

انقُل $x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot 20 (x^{4} x^{2}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{5 \cdot 20 x^{4 + 2} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.3

أضف $4$ و $2$ .

$\frac{5 \cdot 20 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.3

اضرب $5$ في $20$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{2} x - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{1 + 2} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.6

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.7

اضرب $20$ في $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.8

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $x^{5}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x \cdot x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x^{1} x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{1 + 5}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.3

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{6}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $4$ في $- 10$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x \cdot x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x^{1} x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{1 + 2} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $- 10$ في $4$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $10 x^{3}$ من $10 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} + 0 - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.2

أضف $100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6}$ و $0$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

اطرح $40 x^{6}$ من $100 x^{6}$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

اطرح $40 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $4 x$ من $60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $4 x$ من $60 x^{6}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 40 x^{4}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $4 x$ من $- 44 x$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3})$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3} - 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$