حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

خطوة 1

اقسِم $t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ على $t^{2} + 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $t^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t^{2}$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $t^{3} + 3 t^{2} + 0$

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 t^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t^{2}$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 t^{2} + 6 t + 0$

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

خطوة 5

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2} + 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

خطوة 5.1.1.2

أخرِج العامل $t$ من $3 t$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

خطوة 5.1.1.3

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

خطوة 5.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

خطوة 5.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $t (t + 3)$ .

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $t + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.5.2

اقسِم $t + 1$ على $1$ .

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.6.1.2

اقسِم $A (t + 3)$ على $1$ .

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.6.3

انقُل $3$ إلى يسار $A$ .

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $t + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

خطوة 5.1.6.4.2

اقسِم $(B) (t)$ على $1$ .

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

خطوة 5.1.7

انقُل $3 A$ .

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

خطوة 5.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $t$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B$

خطوة 5.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $t$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 3 A$

خطوة 5.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

خطوة 5.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = 3 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$1 = A + B$

خطوة 5.3.1.2

اقسِم كل حد في $3 A = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $3 A = 1$ على $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

خطوة 5.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

خطوة 5.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

خطوة 5.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $\frac{1}{3}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = A + B$ بـ $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = \frac{1}{3} + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

اطرح $\frac{1}{3}$ من كلا المتعادلين.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.3.2.4

اطرح $1$ من $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

خطوة 5.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

خطوة 5.5.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

خطوة 5.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

خطوة 5.5.4

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{t + 3}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

خطوة 9

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

خطوة 10

لنفترض أن $u = t + 3$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = t + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

خطوة 10.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

خطوة 10.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 10.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t + 3$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$