حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 5 + 3 x^{3}$ و $g (x) = 1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 + 3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.5

انقُل $3$ إلى يسار $1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{3 (1 + 2 x^{3}) (3 x^{2}) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.7

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.12

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) (3 x^{2})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.14

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(9 \cdot 1 + 9 (2 x^{3})) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} + (- 6 \cdot 5 - 6 (3 x^{3})) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.1

اضرب $9$ في $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{3})) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 3}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.2.3

أضف $2$ و $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{5}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.3

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.4

اضرب $- 6$ في $5$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.5

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 (x^{2} x^{3}))}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{2 + 3})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.5.3

أضف $2$ و $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{5})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.1.6

اضرب $3$ في $- 6$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

اطرح $18 x^{5}$ من $18 x^{5}$ .

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2} + 0}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.2.2

أضف $9 x^{2} - 30 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.3

اطرح $30 x^{2}$ من $9 x^{2}$ .

$\frac{- 21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 3.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$