حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d}{d x} (\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x^{2}$ و $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 2.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 2.6

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 8

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 11

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 13

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 1 (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 13.2

اضرب $1 + x^{2}$ في $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 15

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $2$ و $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 15.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 15.3

اجمع $x$ و $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 15.4

أخرِج العامل $2$ من $x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 16

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 16.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 16.4

اقسِم $x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ على $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x^{1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.2.1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2 + 1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.2.1.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{3}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$