حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}$ في صورة ${(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$ بالصيغة ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}]$

خطوة 4.1.2

اضرب الأُسس في ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4} \cdot - 1}]$

خطوة 4.1.2.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1}{4}}]$

خطوة 4.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{4}}$ و $g (x) = 9 x^{2} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x^{2} - 5$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.6.2

اطرح $4$ من $- 1$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.7.2

اجمع ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 4.9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 4.11

اضرب $2$ في $9$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 4.12

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + 0)$

خطوة 4.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x)$

خطوة 4.13.2

اضرب $18$ في $- 1$ .

$- 18 \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

خطوة 4.13.3

اجمع $- 18$ و $\frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

خطوة 4.13.4

اجمع $\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ و $x$ .

$\frac{- 18 x}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 4.13.5

أخرِج العامل $2$ من $- 18 x$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 4.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أخرِج العامل $2$ من $4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

خطوة 4.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

خطوة 4.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$