حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 2$ و $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.2

اطرح $2 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2

حلّل $x^{2} - x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 2, 1$

خطوة 1.1.3.5.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 1$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عيّن قيمة $2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 1 = 0$

خطوة 3.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 1$

خطوة 3.2.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

خطوة 4.1.2.1.2

أضف $4$ و $2$ .

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{6}{4 - 1}$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{6}{3}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $6$ على $3$ .

$2$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

خطوة 4.2.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3}{- 2 - 1}$

خطوة 4.2.2.2.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$\frac{3}{- 3}$

خطوة 4.2.2.3

اقسِم $3$ على $- 3$ .

$- 1$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 4.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

خطوة 4.3.2.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(2, 2), (- 1, - 1)$

خطوة 5