حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 1 + \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 1 + \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

خطوة 4.1.4

أضف $0$ و $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \sin (x)$ .

$\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

خطوة 7

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$