حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int \frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 4 - 3 x$ . إذن $d u = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 4 - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$0 - 3$

خطوة 4.1.4

اطرح $3$ من $0$ .

$- 3$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$6 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$6 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

خطوة 5.3

انقُل $3$ إلى يسار $u^{2}$ .

$6 \int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u)$

خطوة 7

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 6$ .

$\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 9.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 9.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 9.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 9.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 9.1.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 9.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 9.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 9.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة $- 2 (- u^{- 1} + C)$ بالصيغة $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

خطوة 11.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 - 3 x$ .

$\frac{2}{4 - 3 x} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{4 - 3 x} + C$