حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 \sin (\frac{x}{3})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{1}{3}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.7

اجمع $\cos (\frac{x}{3})$ و $\frac{1}{3}$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.8

اجمع $- 5$ و $\frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ و $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- \frac{5}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (\frac{x}{3})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

خطوة 2.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{5}{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\sin (\frac{x}{3})$ و $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{3}) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

خطوة 2.3.2.3

انقُل $5$ إلى يسار $\sin (\frac{x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot 1$

خطوة 2.3.6

اضرب $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ على $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

خطوة 5.1.2.1.2

اقسِم $\cos (\frac{x}{3})$ على $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{0}{5}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اقسِم $0$ على $5$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = 0$

خطوة 5.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{x}{3} = \arccos (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

خطوة 5.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 3 \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

بسّط $3 (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = 3 \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4

اضرب $3 \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.4.1

اجمع $3$ و $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.2

اضرب $3$ في $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

خطوة 5.8

حل المعادلة $\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2}$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 7.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 7.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{9}$

خطوة 7.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{5 \cdot 1}{9}$

خطوة 7.2

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{5}{9}$

خطوة 8

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 π}{2})) - 15$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}) - 15$

خطوة 9.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}) - 15$

خطوة 9.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{π}{2}) - 15$

خطوة 9.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \cdot 1 - 15$

خطوة 9.2.1.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 - 15$

خطوة 9.2.2

اطرح $15$ من $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 20$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $- 20$ .

$y = - 20$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{9 π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 11.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 11.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 11.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

خطوة 11.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$\frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

خطوة 11.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1)}{9}$

خطوة 11.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{9}$

خطوة 11.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{- 5}{9}$

خطوة 11.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{9}$

خطوة 12

$x = \frac{9 π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{9 π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{9 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{9 π}{2})) - 15$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

خطوة 13.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

خطوة 13.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 15$

خطوة 13.2.1.2

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 15$

خطوة 13.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- 1 \cdot 1) - 15$

خطوة 13.2.1.4

اضرب $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \cdot - 1 - 15$

خطوة 13.2.1.4.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 5 - 15$

خطوة 13.2.2

اطرح $15$ من $5$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 10$

خطوة 13.2.3

الإجابة النهائية هي $- 10$ .

$y = - 10$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 20)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{9 π}{2}, - 10)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 15