حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ إلى $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ .

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $4 x - \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - \frac{π}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $- \frac{π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

خطوة 5

اجمع $\csc^{2} (u)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

خطوة 7

بما أن مشتق $- \cot (u)$ هو $\csc^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u)$ هو $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x - \frac{π}{3}$ .

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$