حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{10} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{5}{10}$ و $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.4

اجمع $\frac{4}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.5.2.4

اقسِم $2 x^{3}$ على $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $- 9$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{3} - 18 x$ .

$2 x^{3} - 18 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 x^{3} - 18 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{3} - 18 x = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3} - 18 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

خطوة 3.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 3.6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 3, 3$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{10}$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 3$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 3$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.2

اجمع $\frac{1}{10}$ و $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $- 3$ في ${(- 3)}^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

اضرب $- 3$ في ${(- 3)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أضف $1$ و $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.5

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

خطوة 4.3.2.2

لكتابة $81$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع $81$ و $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

خطوة 4.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

خطوة 4.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

اضرب $81$ في $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

خطوة 4.3.2.5.2

أضف $- 243$ و $810$ .

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{567}{10}$ .

$\frac{567}{10}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 3$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ هي $(- 3, \frac{567}{10})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 3, \frac{567}{10})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $3$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.2

اجمع $\frac{1}{10}$ و $243$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

خطوة 4.5.2.1.4

اضرب $- 3$ في $27$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

خطوة 4.5.2.2

لكتابة $- 81$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

خطوة 4.5.2.3

اجمع $- 81$ و $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

خطوة 4.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

خطوة 4.5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.5.1

اضرب $- 81$ في $10$ .

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

خطوة 4.5.2.5.2

اطرح $810$ من $243$ .

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

خطوة 4.5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

خطوة 4.5.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{567}{10}$ .

$- \frac{567}{10}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $3$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ هي $(3, - \frac{567}{10})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(3, - \frac{567}{10})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.1$ في العبارة.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 3.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $2$ في $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 18$ في $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

خطوة 6.2.2

أضف $- 59.582$ و $55.8$ .

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3.782$ .

$- 3.782$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 3.1$ يساوي $- 3.782$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 3)$

تناقص خلال $(- \infty, - 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{27}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

خطوة 7.2.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

خطوة 7.2.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

خطوة 7.2.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

خطوة 7.2.1.8

اضرب $- 9$ في $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

خطوة 7.2.2

لكتابة $27$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع $27$ و $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $27$ في $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

خطوة 7.2.5.2

أضف $- 27$ و $108$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

خطوة 7.3

في $- \frac{3}{2}$ ، المشتق الثاني هو $20.25$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 3, 0)$ .

تزايد خلال $(- 3, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

خطوة 8.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

خطوة 8.2.1.6

اضرب $- 9$ في $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

خطوة 8.2.2

لكتابة $- 27$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 8.2.3

اجمع $- 27$ و $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

خطوة 8.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

خطوة 8.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

اضرب $- 27$ في $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

خطوة 8.2.5.2

اطرح $108$ من $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

خطوة 8.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

خطوة 8.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{81}{4}$ .

$- \frac{81}{4}$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $\frac{3}{2}$ يساوي $- 20.25$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 3)$

تناقص خلال $(0, 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.1$ في العبارة.

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $3.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $2$ في $29.791$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

خطوة 9.2.1.3

اضرب $- 18$ في $3.1$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

خطوة 9.2.2

اطرح $55.8$ من $59.582$ .

$f'' (3.1) = 3.782$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $3.782$ .

$3.782$

خطوة 9.3

في $3.1$ ، المشتق الثاني هو $3.782$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(3, \infty)$ .

تزايد خلال $(3, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ .

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

خطوة 11