حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \cdot 2^{y} = x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = 2^{y}$ .

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = 2^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ .

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

خطوة 5.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ .

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y' \cdot 2^{y}$ من $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y' \cdot 2^{y}$ من $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y' \cdot 2^{y}$ من $y' \cdot 2^{y}$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y' \cdot 2^{y}$ من $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

خطوة 5.3

اضرب $y$ في $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

خطوة 5.4

اضرب $y$ في $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ على $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ على $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ .

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y \ln (2) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$