حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

خطوة 5

بما أن مشتق $- \cot (x)$ هو $\csc^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (x)$ هو $- \cot (x)$ .

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ و $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 6.2

احسِب قيمة $- x - \cot (x)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $\frac{π}{6}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

خطوة 6.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{6})$ هي $\sqrt{3}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

خطوة 6.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

خطوة 6.3.4

أضف $- \frac{π}{2}$ و $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

خطوة 6.3.5

لكتابة $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.3.6

اجمع $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ و $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

خطوة 6.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

خطوة 6.3.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.3.9

اجمع $7$ و $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- π$ .

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ .

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

خطوة 6.3.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

خطوة 6.3.13

أعِد كتابة $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ بالصيغة $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

خطوة 6.3.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.4.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

خطوة 6.4.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.5

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.6

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.8

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.9

اطرح $π$ من $3 π$ .

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.10

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.11

اضرب $7 \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.11.1

اجمع $7$ و $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.11.2

اضرب $2$ في $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.12

اضرب $- 2$ في $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.4.13

احذِف العامل المشترك لـ $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.13.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{14 π}{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.4.13.2

أخرِج العامل $2$ من $- 14 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.13.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

خطوة 6.4.13.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.13.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

خطوة 6.4.13.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.13.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

خطوة 6.4.13.4.4

اقسِم $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ على $1$ .

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

خطوة 6.4.14

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

خطوة 6.4.15

اضرب $- 7$ في $- 1$ .

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$4.79397279 \dots$