حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . إذن $d u_{2} = - e^{- x} d x$ ، لذا $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 4.1.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 4.1.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$0 - e^{- x}$

خطوة 4.1.4

اطرح $e^{- x}$ من $0$ .

$- e^{- x}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$