حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\sqrt{4 + 6 x^{3}}}{\cos^{3} (x)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 + 6 x^{3}}$ في صورة ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حوّل من $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ إلى $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \sec^{3} (x)$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (x)$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (x)$ .

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.4

انقُل $3$ إلى يسار ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.5

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.8

أضف $1$ و $2$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 + 6 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 + 6 x^{3}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 + 6 x^{3}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.10

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.11

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.13.2

اطرح $2$ من $1$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.14.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.14.3

انقُل ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

خطوة 4.14.4

اجمع $\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ و $\sec^{3} (x)$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}]$

خطوة 4.15

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + 6 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

خطوة 4.16

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

خطوة 4.17

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$

خطوة 4.18

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.19

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

اجمع $6$ و $\frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{6 \sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.19.2

أخرِج العامل $2$ من $6 \sec^{3} (x)$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.20.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 ({(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.20.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.20.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.21

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

خطوة 4.22

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.22.1

اجمع $3$ و $\frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 (3 \sec^{3} (x))}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

خطوة 4.22.2

اضرب $3$ في $3$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

خطوة 4.22.3

اجمع $\frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x^{2}$ .

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.23.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$

خطوة 4.23.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$ .

$\frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$