حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin^{4} (x^{2} + 3 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \sin (x^{2} + 3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x^{2} + 3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x^{2} + 3 x)$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} + 3 x$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 3 x$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1)$

خطوة 3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3)$