حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$[8 (4^{x})]$

خطوة 1

اكتب $[8 (4^{x})]$ في صورة دالة.

$f (x) = [8 (4^{x})]$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

خطوة 4

احذِف الأقواس.

$\int 8 (4^{x}) d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

خطوة 5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 3 + 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 3 + 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

خطوة 6.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 6.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 6.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 7

اجمع $2^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $2^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

خطوة 10.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$