حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

خطوة 1

اكتب $\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x$

خطوة 4

اقسِم $3 x^{2} + 5 x - 1$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$1$

خطوة 4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

خطوة 4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

خطوة 4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{2} - 6 x$

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

خطوة 4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$

خطوة 4.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

خطوة 4.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $11 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

خطوة 4.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					+	$11 x$	-	$22$

خطوة 4.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $11 x - 22$

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$

خطوة 4.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$21$

خطوة 4.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 3 x + 11 + \frac{21}{x - 2} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

خطوة 10

بما أن $21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $21$ خارج التكامل.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 11

لنفترض أن $u = x - 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 11.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 11.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| u |) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$