حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

خطوة 2

اقسِم $x^{3}$ على $x^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 - 4 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

خطوة 2.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

خطوة 2.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = x^{2} - 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = x^{2} - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 6.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

خطوة 7.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 9.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

خطوة 11

بسّط.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

خطوة 13.2

لكتابة $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

خطوة 13.3

اجمع $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

خطوة 13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 13.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 13.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

خطوة 13.6

اضرب $2$ في $2$ .

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$