حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . إذن $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sec (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة $\sec (3 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 2.1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 2.1.5

اضرب $\cos (3 x)$ في $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 2.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.1.6.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.1.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.1.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

خطوة 2.1.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

خطوة 2.1.7.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

خطوة 2.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1.1

أضف الأقواس.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

خطوة 2.1.8.1.2

أعِد ترتيب $\cos (3 x)$ و $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

خطوة 2.1.8.1.3

أعِد كتابة $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

خطوة 2.1.8.1.4

ألغِ العوامل المشتركة.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

خطوة 2.1.8.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 \tan (3 x)$

خطوة 2.1.8.3

أعِد كتابة $\tan (3 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

خطوة 2.1.8.4

اجمع $3$ و $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

خطوة 2.1.8.5

افصِل الكسور.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

خطوة 2.1.8.6

حوّل من $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ إلى $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

خطوة 2.1.8.7

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \tan (3 x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

خطوة 3

اجمع $u_{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{3}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{5}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$