حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

خطوة 2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 3.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

خطوة 3.4

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

خطوة 3.5

اجمع $\tan^{2} (x)$ و $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ و $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

خطوة 3.7

انقُل $3$ إلى يسار $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

خطوة 3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

خطوة 3.8.2

اقسِم $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ على $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $\sec^{2} (x)$ من $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $\sec^{2} (x)$ من $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

خطوة 4.2.2

اضرب في $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل $\sec^{2} (x)$ من $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

خطوة 4.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

خطوة 4.4

اضرب $\sec^{2} (x)$ في $\sec^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

خطوة 4.4.2

أضف $2$ و $2$ .

$\sec^{4} (x)$