حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \ln (x^{2} + 4 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x^{2} + 4 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 4 x)] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 4 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4 x$ .

$x (\frac{1}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{x^{2} + 4 x}$ و $x$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \cdot 1) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \cdot 1$

خطوة 3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اضرب $\ln (x^{2} + 4 x)$ في $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x)$

خطوة 3.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$(2 x + 4) \frac{x}{x^{2} + 4 x} + \ln (x^{2} + 4 x)$