حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 6 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 6 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $6 \cos (t)$ موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $36$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $36$ من $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $36$ من $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $36$ من $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $36 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

خطوة 3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

خطوة 4

تكامل $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $- \cos (t)$ في $\frac{π}{6}$ وفي $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

خطوة 5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

خطوة 5.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

خطوة 5.3.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

خطوة 5.3.4

اضرب $6$ في $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

الصيغة العشرية:

$0.80384757 \dots$