حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = - 2 x$ . إذن $d u_{1} = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 8

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 10.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 10.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 10.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 10.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 10.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 11

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

خطوة 12

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 12.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 12.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 12.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{3}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 14

بسّط.

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 2 x$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$