حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

خطوة 1.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $1$ وفي $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

خطوة 4.2.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

خطوة 4.2.7

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

خطوة 4.2.8

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0$

خطوة 4.2.9

أضف $\frac{2}{3}$ و $0$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{6}$