حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.2.5

اجمع $\frac{- 5}{4}$ و $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{1}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{20} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3.3

اجمع $6$ و $\frac{1}{20}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6}{20} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3.4

اجمع $\frac{6}{20}$ و $x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{5}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $20$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 \cdot 10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.4.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.4.4

اجمع $\frac{- 3}{4}$ و $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.4.5

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

خطوة 1.5.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3}{2} x^{2}$

خطوة 1.5.4

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3 x^{2}}{2}$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{3}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x^{5}}{10}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $5$ و $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{15}{10}$ و $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- \frac{5}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5 x^{4}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.4

اجمع $- 4$ و $\frac{5}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 4$ في $5$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.6

اجمع $\frac{- 20}{4}$ و $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 20$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أخرِج العامل $4$ من $- 20 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.7.2.4

اقسِم $- 5 x^{3}$ على $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.3

اجمع $2$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.5

اجمع $\frac{6}{2}$ و $x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4.6.2.4

اقسِم $3 x$ على $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- \frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{4 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 2.5.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 2.5.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 2.5.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

خطوة 2.5.8

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

خطوة 2.5.9

اجمع $4$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

خطوة 2.5.10

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4} x^{- 5}$

خطوة 2.5.11

اجمع $\frac{12}{4}$ و $x^{- 5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

خطوة 2.5.12

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4 x^{5}}$

خطوة 2.5.13

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.13.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

خطوة 2.5.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

خطوة 2.5.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

خطوة 2.5.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.3

اجمع $4$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.4

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.5

اجمع $\frac{12}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.2.6.2.4

اقسِم $6 x^{3}$ على $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.3.3

اضرب $3$ في $- 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.4.3

اضرب $3$ في $1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

خطوة 3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

خطوة 3.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.5.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

خطوة 3.5.5

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

خطوة 3.5.5.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

خطوة 3.5.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

خطوة 3.5.7

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

انقُل $x^{4}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

خطوة 3.5.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{4 - 10})$

خطوة 3.5.7.3

اطرح $10$ من $4$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 6})$

خطوة 3.5.8

اضرب $- 5$ في $3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 x^{- 6}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 3.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $- 15$ و $\frac{1}{x^{6}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{- 15}{x^{6}}$

خطوة 3.6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - \frac{15}{x^{6}}$

خطوة 3.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = 6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$

خطوة 4

المشتق الثالث لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$