حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

خطوة 3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

خطوة 3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

خطوة 3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

خطوة 3.10

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

خطوة 3.11

اجمع $\frac{- 2}{4}$ و $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

خطوة 3.12

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

خطوة 3.13

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

خطوة 3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

خطوة 3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

خطوة 3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

خطوة 3.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 x^{- 2} - \frac{1}{2 x^{3}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

خطوة 4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$