حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع $\sin (\frac{1}{θ})$ و $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

خطوة 1.2

اجمع $\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ و $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . إذن $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \sin (θ)$ و $g (θ) = \frac{1}{θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{1}{θ}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{θ}$ بالصيغة $θ^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

خطوة 2.1.4.2

اجمع $\cos (\frac{1}{θ})$ و $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$