حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 6 x + 3$ . إذن $d u = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 6 x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $6$ و $0$ .

$6$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

خطوة 6

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

خطوة 9

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

خطوة 10

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 12.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

خطوة 12.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

خطوة 12.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

خطوة 12.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

خطوة 12.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

خطوة 12.2.3.2.4

اقسِم $- 2 x^{2}$ على $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$