حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t_{1}$ من $\infty$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = - s t$ . إذن $d u = - s d t$ ، لذا $- \frac{1}{s} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = - s t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- s$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- s t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- s$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = - s t$ .

$u_{lower} = - s \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $- s \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

خطوة 2.3.2

اضرب $0$ في $s$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = - s t$ .

$u_{upper} = - s t_{1}$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{s}$ و $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{s}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{s}$ خارج التكامل.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

خطوة 7

اجمع $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ و $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- s t_{1}$ وفي $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

خطوة 8.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t_{1}$ .

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

خطوة 9.1.2

انقُل الحد $\frac{1}{s}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t_{1}$ .

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

خطوة 9.1.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t_{1}$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

خطوة 9.2

بما أن الأُس $- s t_{1}$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- s t_{1}}$ تقترب من $0$ .

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

خطوة 9.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t_{1}$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 9.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

خطوة 9.3.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

خطوة 9.3.2.3

اضرب $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

خطوة 9.3.2.3.2

اضرب $\frac{1}{s}$ في $1$ .

$\frac{1}{s}$