حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

خطوة 5

لنفترض أن $u = y + 8$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = y + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $y + 8$ .

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 8$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

خطوة 5.1.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = y + 8$ .

$u_{lower} = - 7 + 8$

خطوة 5.3

أضف $- 7$ و $8$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = y + 8$ .

$u_{upper} = 0 + 8$

خطوة 5.5

أضف $0$ و $8$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

خطوة 6

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} y^{2}$ في $0$ وفي $- 7$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $8$ وفي $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.3

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.4

اضرب $49$ في $- 1$ .

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.5

اجمع $- 49$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.7

اطرح $\frac{49}{2}$ من $0$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.8

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.9

اضرب $7$ في $2$ .

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $49$ و $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.10.1

أخرِج العامل $7$ من $49$ .

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.10.2.1

أخرِج العامل $7$ من $14$ .

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.11

اجمع $\frac{2}{3}$ و $8^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.12

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.13

اضرب الأُسس في ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.13.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.13.2

اضرب $3 (\frac{3}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.13.2.1

اجمع $3$ و $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.13.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.15

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.17

أضف $2$ و $9$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.18

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

خطوة 8.3.19

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 8.3.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

خطوة 8.3.21

لكتابة $- \frac{7}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

خطوة 8.3.22

لكتابة $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 8.3.23

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.23.1

اضرب $\frac{7}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 8.3.23.2

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 8.3.23.3

اضرب $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

خطوة 8.3.23.4

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

خطوة 8.3.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

خطوة 8.3.25

اضرب $- 7$ في $3$ .

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

خطوة 8.3.26

انقُل $2$ إلى يسار $2^{\frac{11}{2}} - 2$ .

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- 21$ بالصيغة $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $- 1$ من $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

خطوة 9.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

خطوة 9.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

خطوة 10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

خطوة 10.2

اضرب $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أخرِج السالب.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

خطوة 10.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

خطوة 10.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

خطوة 10.2.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

خطوة 10.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

خطوة 10.2.6

أضف $2$ و $11$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

خطوة 10.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

خطوة 10.4

أضف $21$ و $4$ .

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

الصيغة العشرية:

$10.91827799 \dots$

خطوة 12