حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt[5]{x^{2} - 8 x + 1}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{x^{2} - 8 x + 1}$ في صورة ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$y = {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ و $g (x) = x^{2} - 8 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.5.2

اطرح $5$ من $1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 8 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.9

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.11

اضرب $- 8$ في $1$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.12

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 + 0)$

خطوة 4.13

أضف $2 x - 8$ و $0$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8)$

خطوة 4.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 4.14.2

اضرب $2 x - 8$ في $\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 4.14.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 4.14.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 4.14.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$