حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 2 x}$ في صورة ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1)$

خطوة 4.11

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

خطوة 4.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12.2

اضرب $2 x + 2$ في $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12.4

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.12.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$