حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ موجبة.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2

اجمع $\frac{\tan (t)}{2}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.4

اضرب $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ في $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.5

اضرب $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ في $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

خطوة 2.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $\sec^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.2.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

خطوة 2.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

خطوة 2.2.9

أعِد كتابة $\tan (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

خطوة 2.2.10

أعِد كتابة $\sec (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

خطوة 2.2.11

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

خطوة 2.2.12

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

خطوة 2.2.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

خطوة 2.2.13

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

خطوة 3

تكامل $\csc (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$