حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

خطوة 1

اكتب $x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{3}}$ . إذن $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{3}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x^{3}}$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

خطوة 7

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$