حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = \frac{x}{2}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 4.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

خطوة 5.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 7

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 14

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 14.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 14.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 14.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 14.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 15

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 16

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 17

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 18

بسّط.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 19

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 19.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 19.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

خطوة 20.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

خطوة 20.1.2

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

خطوة 20.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

خطوة 20.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

خطوة 20.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

خطوة 20.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sin (x)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

خطوة 20.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

خطوة 20.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$x - \sin (x) + C$

خطوة 21

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$