حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احسِب قيمة $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ في $27$ وفي $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

خطوة 6.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $27$ وفي $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.5

اجمع $\frac{3}{4}$ و $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.6

اضرب $3$ في $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.10

اطرح $3$ من $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $240$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.11.1

أخرِج العامل $4$ من $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.11.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.1.3.11.2.4

اقسِم $60$ على $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 6.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $27$ تساوي $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

خطوة 6.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

خطوة 6.3.3

اقسِم $27$ على $1$ .

$60 - \ln (27)$

خطوة 7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\ln (27)$ بالصيغة $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

خطوة 7.2

وسّع $\ln (3^{3})$ بنقل $3$ خارج اللوغاريتم.

$60 - (3 \ln (3))$

خطوة 7.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$60 - 3 \ln (3)$

الصيغة العشرية:

$56.70416313 \dots$

خطوة 9