حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

خطوة 1

اكتب $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- \frac{3}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{20} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.6

اجمع $\frac{- 15}{20}$ و $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.2.1

أخرِج العامل $5$ من $20$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 (3 x^{2})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $11$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- \frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3 x^{4}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $- 4$ في $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.6

اجمع $\frac{- 12}{4}$ و $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.7.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.7.2.4

اقسِم $- 3 x^{3}$ على $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $33$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $33 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 33 (2 x)$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $33$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 66 x$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{3} + 66 x$ .

$- 3 x^{3} + 66 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 3 x^{3} + 66 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{3} + 66 x = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{3} + 66 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 66 x = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 3 x$ من $66 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 22 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 22)$ .

$- 3 x (x^{2} - 22) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 22 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 22$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 22$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 22 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 22 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $22$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 22$

خطوة 3.5.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{22}$

خطوة 3.5.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{22}$

خطوة 3.5.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{22}$

خطوة 3.5.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 3 x (x^{2} - 22) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 11 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 11 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- \frac{3}{20} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 11 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = 0 + 11 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 11 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $11$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $\sqrt{22}$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{22}$ في العبارة.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(\sqrt{22})}^{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{22}}^{5}$ بالصيغة $\sqrt{22^{5}}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $22$ إلى القوة $5$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.3

أعِد كتابة $5153632$ بالصيغة $484^{2} \cdot 22$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

أخرِج العامل $234256$ من $5153632$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.3.2

أعِد كتابة $234256$ بالصيغة $484^{2}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{20}$ إلى بسط الكسر.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.5.3

أخرِج العامل $4$ من $484 \sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.6

اجمع $121$ و $\frac{- 3}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{121 \cdot - 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.7

اضرب $121$ في $- 3$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.8

اجمع $\frac{- 363}{5}$ و $\sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.10

أعِد كتابة ${\sqrt{22}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{3}}$

خطوة 4.3.2.1.11

ارفع $22$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{10648}$

خطوة 4.3.2.1.12

أعِد كتابة $10648$ بالصيغة $22^{2} \cdot 22$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.12.1

أخرِج العامل $484$ من $10648$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{484 (22)}$

خطوة 4.3.2.1.12.2

أعِد كتابة $484$ بالصيغة $22^{2}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{2} \cdot 22}$

خطوة 4.3.2.1.13

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (22 \sqrt{22})$

خطوة 4.3.2.1.14

اضرب $22$ في $11$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22}$

خطوة 4.3.2.2

لكتابة $242 \sqrt{22}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اجمع $242 \sqrt{22}$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

اضرب $5$ في $242$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 1210 \sqrt{22}}{5}$

خطوة 4.3.2.4.2

أضف $- 363 \sqrt{22}$ و $1210 \sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

خطوة 4.3.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$\frac{847 \sqrt{22}}{5}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{22}$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ هي $(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- \sqrt{22}$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{22}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(- \sqrt{22})}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{22}}^{5}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.2

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.2.1

انقُل ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.2.2

اضرب ${(- 1)}^{5}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.2.3

أضف $5$ و $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{6} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$f (- \sqrt{22}) = 1 (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.4

اضرب $\frac{3}{20}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{22}}^{5}$ بالصيغة $\sqrt{22^{5}}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.6

ارفع $22$ إلى القوة $5$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.7

أعِد كتابة $5153632$ بالصيغة $484^{2} \cdot 22$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.7.1

أخرِج العامل $234256$ من $5153632$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.7.2

أعِد كتابة $234256$ بالصيغة $484^{2}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.9.2

أخرِج العامل $4$ من $484 \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.9.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.9.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.10

اجمع $121$ و $\frac{3}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{121 \cdot 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.11

اضرب $121$ في $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.12

اجمع $\frac{363}{5}$ و $\sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.13

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3})$

خطوة 4.5.2.1.14

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- {\sqrt{22}}^{3})$

خطوة 4.5.2.1.15

أعِد كتابة ${\sqrt{22}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{3}})$

خطوة 4.5.2.1.16

ارفع $22$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{10648})$

خطوة 4.5.2.1.17

أعِد كتابة $10648$ بالصيغة $22^{2} \cdot 22$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.17.1

أخرِج العامل $484$ من $10648$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{484 (22)})$

خطوة 4.5.2.1.17.2

أعِد كتابة $484$ بالصيغة $22^{2}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{2} \cdot 22})$

خطوة 4.5.2.1.18

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- (22 \sqrt{22}))$

خطوة 4.5.2.1.19

اضرب $22$ في $- 1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- 22 \sqrt{22})$

خطوة 4.5.2.1.20

اضرب $- 22$ في $11$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22}$

خطوة 4.5.2.2

لكتابة $- 242 \sqrt{22}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 4.5.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.3.1

اجمع $- 242 \sqrt{22}$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{- 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

خطوة 4.5.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

خطوة 4.5.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.4.1

اضرب $5$ في $- 242$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 1210 \sqrt{22}}{5}$

خطوة 4.5.2.4.2

اطرح $1210 \sqrt{22}$ من $363 \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{- 847 \sqrt{22}}{5}$

خطوة 4.5.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

خطوة 4.5.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{22}$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ هي $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{22}) \cup (- \sqrt{22}, 0) \cup (0, \sqrt{22}) \cup (\sqrt{22}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{22})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4.79041575$ في العبارة.

$f'' (- 4.79041575) = - 3 {(- 4.79041575)}^{3} + 66 (- 4.79041575)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 4.79041575$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4.79041575) = - 3 \cdot - 109.93085918 + 66 (- 4.79041575)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3$ في $- 109.93085918$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 + 66 (- 4.79041575)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $66$ في $- 4.79041575$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 - 316.16744014$

خطوة 6.2.2

اطرح $316.16744014$ من $329.79257756$ .

$f'' (- 4.79041575) = 13.62513741$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $13.62513741$ .

$13.62513741$

خطوة 6.3

في $- 4.79041575$ ، المشتق الثاني هو $13.62513741$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \sqrt{22})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \sqrt{22})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{22}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.34520787$ في العبارة.

$f'' (- 2.34520787) = - 3 {(- 2.34520787)}^{3} + 66 (- 2.34520787)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 2.34520787$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 3 \cdot - 12.89864333 + 66 (- 2.34520787)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 3$ في $- 12.89864333$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 + 66 (- 2.34520787)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $66$ في $- 2.34520787$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 - 154.78372007$

خطوة 7.2.2

اطرح $154.78372007$ من $38.69593001$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 116.08779005$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 116.08779005$ .

$- 116.08779005$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $- 2.34520787$ يساوي $- 116.08779005$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \sqrt{22}, 0)$

تناقص خلال $(- \sqrt{22}, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{22})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.34520787$ في العبارة.

$f'' (2.34520787) = - 3 {(2.34520787)}^{3} + 66 (2.34520787)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2.34520787$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2.34520787) = - 3 \cdot 12.89864333 + 66 (2.34520787)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 3$ في $12.89864333$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 66 (2.34520787)$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $66$ في $2.34520787$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 154.78372007$

خطوة 8.2.2

أضف $- 38.69593001$ و $154.78372007$ .

$f'' (2.34520787) = 116.08779005$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $116.08779005$ .

$116.08779005$

خطوة 8.3

في $2.34520787$ ، المشتق الثاني هو $116.08779005$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \sqrt{22})$ .

تزايد خلال $(0, \sqrt{22})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{22}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.79041575$ في العبارة.

$f'' (4.79041575) = - 3 {(4.79041575)}^{3} + 66 (4.79041575)$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $4.79041575$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4.79041575) = - 3 \cdot 109.93085918 + 66 (4.79041575)$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $- 3$ في $109.93085918$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 66 (4.79041575)$

خطوة 9.2.1.3

اضرب $66$ في $4.79041575$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 316.16744014$

خطوة 9.2.2

أضف $- 329.79257756$ و $316.16744014$ .

$f'' (4.79041575) = - 13.62513741$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $- 13.62513741$ .

$- 13.62513741$

خطوة 9.3

المشتق الثاني عند $4.79041575$ يساوي $- 13.62513741$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\sqrt{22}, \infty)$

تناقص خلال $(\sqrt{22}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ .

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

خطوة 11