حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $a^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ .

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$a^{3} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 a^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2

بما أن $2 a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

خطوة 3.6

انقُل $2$ إلى يسار $2 a^{2} - x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 3.7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 3.7.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

خطوة 3.7.3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

خطوة 3.7.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

خطوة 3.7.3.5

أضف $1$ و $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

خطوة 3.7.3.6

اطرح $2 x^{3}$ من $- 2 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ على $a^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ على $a^{3}$ .

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $a^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

خطوة 5.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $a^{2}$ و $a^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

أخرِج العامل $a^{2}$ من $4 a^{2} x$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

خطوة 5.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $a^{2}$ من $a^{3}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

خطوة 5.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

خطوة 5.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$