حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{x}}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.6.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

خطوة 2.6.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

خطوة 2.6.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

خطوة 2.6.2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

خطوة 2.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

خطوة 2.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

خطوة 2.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

خطوة 2.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x e^{x}$ و $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

خطوة 2.8.4.1.2

اطرح $e^{x} x$ من $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

خطوة 2.8.4.1.3

أضف $x (x e^{x})$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

خطوة 2.8.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.2.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.2.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

خطوة 2.8.4.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

خطوة 2.8.4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 2.8.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 2.8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 2.8.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

خطوة 4.1.4.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

خطوة 4.1.4.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

خطوة 4.1.4.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$e^{x} (x - 1) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 5.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 5.3.2.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 5.3.2.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 5.3.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 6.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 6.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 1$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

خطوة 9.1.2

اضرب $e^{1}$ في $1$ .

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

خطوة 9.1.3

بسّط.

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

خطوة 9.1.5

بسّط.

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

خطوة 9.1.6

بسّط.

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

خطوة 9.1.7

اطرح $2 e$ من $e$ .

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

خطوة 9.1.8

أضف $- e$ و $2 e$ .

$\frac{e}{1^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{e}{1}$

خطوة 9.2.2

اقسِم $e$ على $1$ .

$e$

خطوة 10

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اقسِم $e^{1}$ على $1$ .

$f (1) = e$

خطوة 11.2.2

الإجابة النهائية هي $e$ .

$y = e$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$(1, e)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13