حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . إذن $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ ، لذا $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{6 x^{4}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{6 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 6 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $4$ في $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.6

اضرب $24$ في $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أضف $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ و $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ .

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ و $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{48}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{48}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{48}$ في $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 6.2.2

اضرب $48$ في $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 6.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $336$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 6.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $336$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 6.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$