حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = \sin (2 x)$ . إذن $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = \sin (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 2.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 2.1.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3

اجمع $\sqrt[3]{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.3

اضرب $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (2 x)$ .

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$