حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d}{d y} \ln (x^{2} + y^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 2.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 y)$

خطوة 2.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} y$

خطوة 2.5.2

اجمع $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ و $y$ .

$\frac{2 y}{x^{2} + y^{2}}$